\chapter{1738年，克莱罗(Clairaut)在1738年对椭球体方程的推导研究}

	\begin{abstract}
		本文分析了亚历克西斯·克莱罗(Alexis Clairaut)在1738年对旋转椭球体数学模型的推导过程。通过对原始文献的解读，我们重构了克莱罗采用微积分方法建立椭球体曲率方程的关键步骤，并探讨了这一工作在18世纪大地测量学发展中的重要意义。研究表明，克莱罗的推导为后来克莱罗定理的建立奠定了基础，并对地球形状学研究产生了深远影响。
		
		\textbf{关键词}：克莱罗；椭球体；地球形状；微分几何；数学史
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1738年，法国数学家亚历克西斯·克莱罗（1713-1765）在其关于地球形状的研究中，首次系统性地推导了旋转椭球体的数学方程。这项工作发表在他的经典著作《关于地球形状的理论》(Théorie de la figure de la terre)中，为18世纪的大地测量学提供了重要的理论基础。
	
	\section{历史背景}
	18世纪初，牛顿和惠更斯关于地球形状的争论尚未解决。牛顿认为地球是一个两极扁平的旋转椭球体，而惠更斯则从力学角度提出了不同观点。1736-1737年，克莱罗参与了法国科学院组织的拉普兰和秘鲁测量远征，为他的理论研究积累了实测数据。
	
	\section{克莱罗的推导过程}
	\subsection{基本假设}
	克莱罗基于以下假设建立模型：
	\begin{itemize}
		\item 地球是均匀流体组成的旋转椭球体
		\item 处于静力学平衡状态
		\item 满足万有引力定律
	\end{itemize}
	
	\subsection{曲率方程推导}
	考虑旋转产生的离心力与引力平衡，克莱罗得到曲面方程：
	
	\begin{equation}
		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
	\end{equation}
	
	对于旋转椭球体（$a = b \neq c$），引入扁率 $f = \frac{a-c}{a}$，通过微积分运算得到曲率关系：
	
	\begin{equation}
		\frac{dy}{dx} = -\frac{x(c^2)}{y(a^2)}
	\end{equation}
	或更精确的现代形式：
	
	\begin{equation}
		g(\theta) = g_e(1 + \beta \sin^2\theta - \beta' \sin^2 2\theta)
	\end{equation}
	
	其中：
	\begin{itemize}
		\item $g(\theta)$ 为纬度$\theta$处的重力加速度
		\item $g_e$ 为赤道重力值
		\item $m = \frac{\omega^2 a}{g_e}$ （离心力与赤道引力之比）
		\item $f = \frac{a-c}{a}$ 为几何扁率
		\item $\beta, \beta'$ 为与地球内部密度分布相关的参数
	\end{itemize}
	
	\subsection{公式推导背景}
	克莱罗通过以下步骤建立该定理：
	
	将重力势表示为：
	\begin{equation}
	W(r,\theta) = \frac{GM}{r} + \frac{\omega^2 r^2 \sin^2\theta}{2}
	\end{equation}
	
	在椭球表面$r = a(1-f\sin^2\theta)$处展开势函数
	
	通过平衡条件得到重力公式，其一级近似即为经典Clairaut定理
	
	1743年克莱罗在《Théorie de la figure de la Terre》中最终完善的这个定理，实际上建立了重力变化与扁率之间的精确关系，这是物理大地测量学的奠基性成果。
	
	需要补充说明的是，现代文献中Clairaut定理有时也指微分方程形式：
	\begin{equation}
	\frac{df}{d\bar{\rho}} + \frac{2f + 5\bar{\rho}}{\bar{\rho}(1-\bar{\rho})} = \frac{5}{2}
	\end{equation}
	其中$\bar{\rho}$是归一化平均密度。
	\subsection{力学平衡条件}
	克莱罗将引力势与离心势结合，导出平衡条件：
	
	\begin{equation}
		g(\theta) = g_e(1 + \beta \sin^2\theta)
	\end{equation}
	
	其中$g_e$为赤道重力，$\theta$为纬度角，$\beta$为与扁率相关的参数。
	
	\section{数学贡献分析}
	克莱罗的工作在以下方面具有创新性：
	\begin{enumerate}
		\item 首次将微积分系统应用于地球形状研究
		\item 建立了旋转椭球体的曲率微分方程
		\item 为后来的克莱罗定理（1743年）奠定了基础：
		\begin{equation}
			g_p = g_e(1 +( \frac{5}{2}m - f)\sin^2\phi)
		\end{equation}
		其中$m$为赤道上的离心力与重力加速度之比，$\phi$是椭球面上纬度。 
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	克莱罗1738年的推导标志着数学大地测量学的开端，其方法不仅解决了地球形状的理论建模问题，还为后续的位势理论发展提供了范例。这一工作体现了18世纪数学物理学的卓越成就，对现代地球科学仍有重要启示。
	
	\section*{致谢}
	感谢对本文有帮助的研究人员和机构。

	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{clairaut1738} 
		Clairaut, A. (1738). 
		\textit{Théorie de la figure de la terre}. 
		Paris.
		
		\bibitem{greenberg1985} 
		Greenberg, J. L. (1985). 
		The problem of the Earth's shape from Newton to Clairaut. 
		\textit{Archive for History of Exact Sciences}, 32(3-4), 325-375.
		
		\bibitem{todhunter1873} 
		Todhunter, I. (1873). 
		\textit{A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth}. 
		London: Macmillan.
	\end{thebibliography}
	